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鞍点

定义

一个不是局部最小值的驻点（一阶导数为0的点）称为鞍点。数学含义是：目标函数在此点上的梯度（一阶导数）值为 0，但从改点出发的一个方向是函数的极大值点，而在另一个方向是函数的极小值点。

判断

判断鞍点的一个充分条件是：函数在一阶导数为零处（驻点）的黑塞矩阵为不定矩阵。

1.黑塞矩阵

在数学中，黑塞矩阵（Hessian matrix 或 Hessian）是一个多变量实值函数的二阶偏导数组成的方阵（类似于多元函数的二阶导数），假设有一实数函数f(x1,x2,x3...xn)，如果f所有的二阶偏导数都存在，那么黑塞矩阵表示如下：

2.不定矩阵

• 半正定矩阵：所有特征值为非负。

• 半负定矩阵：所有特征值为非正。

• 不定矩阵：特征值有正有负。

例子

下面对函数z=x^2+y2的驻点(0,0)判断是否为鞍点。函数图像如下：

我们根据定义来判断(0,0)点的黑塞矩阵：

我们容易求得二元函数z=x^2+y2在驻点 (0,0) 处的 Hessian 矩阵形式为：

容易解出特征值一个为2,一个为-2（有正有负），显然是不定矩阵，所以该点是鞍点！

注意：函数在一阶导数为零处（驻点）的黑塞矩阵为不定矩阵只是判断该点是否为鞍点的充分条件，也就是说函数在一阶导数为零处（驻点）的黑塞矩阵不满足不定矩阵的定义，也不一定能够说明它不是鞍点。

比如在z=x^2+y2点 (0,0)处的 Hessian 矩阵是一个 0 矩阵,并不满足是不定矩阵，但是它是一个鞍点。